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  3. (1997年试题，四)设直线，在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，一2，5)，求a，b之值．

(1997年试题，四)设直线，在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，一2，5)，求a，b之值．

admin2021-01-15  17
问题 (1997年试题，四)设直线，在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，一2，5)，求a，b之值．
选项
答案根据题意，平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，一2，5)该点处曲面法向量(也就是平面π的法向量)n｜(1,-2,5)=(2x，2y一1)｜(1,-2,5)=(2，一4，一1)，因此可得出平面π的方程为2(x一1)一4(y+2)一(z一5)=0．化简得2x一4y—z一5=0又由题设，直线z在平面π上，则将y=一b一x及z=x一3+a(一b一x)代入上式(平面π的方程)，得2x一4b+4x一x+3+ab+ax一5=0即(5+a)x+4b+ab—2=0，从而5+a=0且4b+ab—2=0可解得a=一5且b=一2解析二本题亦可利用平面束求解，由已知，过直线l的平面束方程为x+ay一z一3+λ(x+y+b)=0其法向量为n1=(1+λ，a+λ，一1)而曲面在点(1，一2，5)处法向量n2=(2，一4，一1)，则由，n1／／n2，得[*]可解出a=一5，λ=1，又由平面π经过点(1，一2，5)，因此1+(一5).(一2)一5—3+1—2+b=0;可得出b=一2
解析
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考研数学一

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