将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

admin2020-05-02 25

问题将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

选项

答案首先建立目标函数．将矩形的一个顶点置于坐标原点，两边分别置于x轴和y轴上，在x轴和y轴上的边长分别为x，y，则矩形绕x轴旋转所得圆柱体的体积为V=πxy²，其中x+y=p(0＜x＜p，0＜y＜p)．方法一此问题相当于求V=πxy²在x+y=p下的条件极值．取拉格朗日函数L(x，y，λ)=πxy²－λ(x+y－p)，令 [*] 当0＜x＜p，0＜y＜p时，解得[*]所以V在[*]处取得极大值，因为它是唯一驻点，又为内点，故为最大值点，即[*]时体积最大，最大体积为[*] 方法二由于当x＞0，y＞0时，[*]当且仅当[*]时等号成立，故[*]于是当[*]时，旋转体的体积V=πxy²取最大值[*]

解析

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考研数学一

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将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

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