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已知矩阵A=,设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA.记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
已知矩阵A=,设3阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA.记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合.
admin
2020-06-05
22
问题
已知矩阵A=
,设3阶矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
)满足B
2
=BA.记B
100
=(β
1
,β
2
,β
3
),将β
1
,β
2
,β
3
分别表示为α
1
,α
2
,α
3
的线性组合.
选项
答案
因为矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =﹣λ(λ+1)(λ+2) 所以A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=﹣1,λ
3
=﹣2. 当λ
1
=0时,解方程(A-0E)x=0.由 A-0E=[*] 得基础解系p
1
=(3,2,2)
T
,矩阵A的属于特征值λ
1
=0的特征向量为c
1
p
1
(c
1
≠0). 当λ
2
=﹣1时,解方程(A+E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系p
2
=(1,1,0)
T
,矩阵A的属于特征值λ
2
=﹣1的特征向量为c
2
p
2
(c
2
≠0). 当λ
3
=﹣2时,解方程(A+E)x=0.由 A+2E=[*] 得基础解系p
2
=(1,2,0)
T
,矩阵A的属于特征值λ
3
=﹣1的特征向量为c
3
p
3
(c
3
≠0). 令P=(p
1
,p
2
,p
3
),则P
﹣1
AP=[*] =diag(0,﹣1,﹣2),进而 A=P[*]P
﹣1
,A
m
=P[*]
m
P
﹣1
=Pdiag(0,(﹣1)
m
,(﹣2)
m
)P
﹣1
又由已知条件可得 (β
1
,β
2
,β
3
)=B
100
=B
98
B
2
=B
98
(BA)=B
99
A=B
97
B
2
A =B
97
(BA)A=B
98
A
2
=…=BA
99
即 (β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)A
99
而 A
99
[*] 因此 β
1
=(2
99
-2)α
1
+(2
100
-2)α
2
,β
2
=(1-2
99
)α
1
+(1-2
100
)α
2
β
3
=(2-2
99
)α
1
+(2-2
100
)α
2
解析
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考研数学一
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