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  3. 三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

admin2020-03-16  57
问题 三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．
选项
答案因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22-2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2．由｜A｜=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值为μ1=μ2=-2，μ3=1，从而A*+2E的特征值为0，0，3，即α1为A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量． 令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα=0，即x1+x3=0故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为 α2=[*]，α3=[*] 令P=(α2，α3，α1)=[*]，由P-1AP=[*]，得 A=P[*]P-1=[*]，所求的二次型为 f=XTAX=[*]x12+x22-[*]x32+3x1x3．
解析
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考研数学二

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