三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

admin2020-03-16 88

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²-2y₃²，且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

，求此二次型．

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²-2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-2．由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=-2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=-2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0，0，3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=-2的特征向量．令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为α=[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 α₂=[*]，α₃=[*] 令P=(α₂，α₃，α₁)=[*]，由P^-1AP=[*]，得 A=P[*]P^-1=[*]，所求的二次型为 f=X^TAX=[*]x₁²+x₂²-[*]x₃²+3x₁x₃．

解析

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考研数学二

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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

考研数学二

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2—α3，若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。

设线性方程组设a1=a3=k，a2=a4=—k(k≠0)，并且β1=(—1，1，1)T和β2=(1，1，—1)T是两个解。求此方程组的通解。

设α1，α2，α3，α4是4维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A是A的伴随矩阵，已知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组Ax=0的基础解系为()

[2008年](I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)dx=f(η)(b一a)．(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点

[2009年](I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)．(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=

[2003年]设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1．2．5．1所示，则f(x)有()．

[2014年]求极限.

设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫01f(x)dx≥λ∫01f(x)dx．

确定常数a，b，c的值，使。

(2002年)已知矩阵A＝[α1α2α3α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3．如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Aχ＝β的通解．

Everyday,over300childrenintheUnitedStatesages0to19aretreatedinanemergencydepartment,andtwochildrendie,as

患者，男，65岁。久病体弱，平素不耐风寒极易感冒。近半月来汗出恶风，动则益甚，体倦乏力，面色少华，苔薄白，脉细弱。其治疗宜为

仓库存有大批洋葱，少量洋葱开始发芽，防止更多洋葱发芽，采用何种工艺最佳

在一起强奸案中，王某是被告人杨某的辩护律师，孙某是被害人李某的诉讼代理人。人民法院作出的判决已经生效后，则关于本案，下述说法正确的是：

充填石英砂有限流作用的高压熔断器，只能用在()。

根据《城市绿线管理办法》，城市绿地系统规划是()的组成部分。

下列合同或凭证，应缴纳印花税的有()。

增进公共组织领导有效性的方法是()。

Itlookedjustlikeanotheraircraftfromtheoutside.Thepilottoldhisyoungpassengersthatitwasbuiltin1964.Butappear

Ithasbeenjustlysaidthatwhile"wespeakwithourvocalorganswe【C1】con________withourwholebodies."Allofuscommunicat

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设α1，α2，α3，α4是4维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A*是A的伴随矩阵，已知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组A*x=0的基础解系为()

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确定常数a，b，c的值，使。

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