证明n元非齐次线性方程组Aχ＝b有解的充分必要条件是ATχ＝0的解全是bTχ＝0的解．

admin2018-06-12 31

问题证明n元非齐次线性方程组Aχ＝b有解的充分必要条件是A^Tχ＝0的解全是b^Tχ＝0的解．

选项

答案(必要性)因为方程组Aχ＝b有解，设α是Aχ＝b的一个解，即Aα＝b，即 b^T＝(Aa)^T＝α^TA^T．若η是A^Tχ＝0的任一个解，则A^Tα＝0，那么 b^Tη＝α^TA^Tη＝α^T0＝0，即η是b^Tχ＝0的解． (充分性)因为A^Tχ＝0的解全是b^Tχ＝0的解．所以A^Tχ＝0与[*]同解．那么r(A^T)＝r[*]，即r(A)＝r(A，b)，因此方程组Aχ＝b有解．

解析

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