2. 考研
  3. [2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．

[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．

admin2019-05-10  45
问题 [2011年]  设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为(    )．
选项 A、α1，α3  
B、α1，α2
C、α1，α2，α3
D、α2，α3，α4
答案D
解析 先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数．再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解，且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系，最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系，从而确定A*X=0的基础解系．
因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n一秩(A)=4一秩(A)=1，即秩(A)=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量，这就排除了(A)，(B)选项．
因秩(A)=3，故∣A∣=0，所以A*A=∣A∣E=O．又因秩(A)=3，故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系．
    又因[1，0，1，0]T为AX=[α1，α2，α3，α4]X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T
=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除(C)．仅(D)入选．
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考研数学二

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