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设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0<α<π/2)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积V.
设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0<α<π/2)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积V.
admin
2019-04-05
66
问题
设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0<α<π/2)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积V.
选项
答案
因立体为非旋转体,此立体体积可按式(1.3.5.11)计算,为此先求平行截面面积A(x). 解一 底面椭圆的方程为[*]=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其一直角边长为x=a[*],另一直角边长为a[*]tanα(见图1.3.5.11),故截面面积为 A(y)=[*]tanα. 由式(1.3.5.11)得楔形体的体积为 V=∫
-b
b
A(y)dy=[*]tanαdy =[*]tanα∫
0
b
(b
2
一y
2
)dy=[*]tanα. 解二 用垂直于z轴的平行平面截此楔形体所得截面为矩形,其面积为 A(x)=2b[*]·x tanα. 由式(1.3.5.10)得楔形体体积为 V=∫
0
a
A(x)dx=2btanα∫
0
a
x[*] [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NWV4777K
0
考研数学二
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