设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0<α<π/2)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积V.

admin2019-04-05  32

问题 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴且与底面成α角(0<α<π/2)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积V.

选项

答案 因立体为非旋转体,此立体体积可按式(1.3.5.11)计算,为此先求平行截面面积A(x). 解一 底面椭圆的方程为[*]=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其一直角边长为x=a[*],另一直角边长为a[*]tanα(见图1.3.5.11),故截面面积为 A(y)=[*]tanα. 由式(1.3.5.11)得楔形体的体积为 V=∫-bbA(y)dy=[*]tanαdy =[*]tanα∫0b(b2一y2)dy=[*]tanα. 解二 用垂直于z轴的平行平面截此楔形体所得截面为矩形,其面积为 A(x)=2b[*]·x tanα. 由式(1.3.5.10)得楔形体体积为 V=∫0aA(x)dx=2btanα∫0ax[*] [*]

解析
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