2. 考研
  3. 设矩阵B＝P-1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵B＝P-1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2016-05-09  21
问题 设矩阵B＝P-1A*P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη＝λη．由于｜A｜＝7≠0，所以λ≠0 又因A*A＝｜A｜E，故有A*＝[*]η． 于是有 B(P-1η)＝p-1A*P(P-1η)＝[*](P-1η)， (B＋2E)P-1η＝([*]＋2)P-1η． 因此，[*]＋2为B＋2E的特征值，对应的特征向量为P-1η． 由于｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－7)， 故A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝7． 当λ1＝λ2＝1时，对应线性无关的两个特征向量可取为[*] 当λ3＝7时，对应的一个特征向量可取为η3＝ [*] 由[*] 因此，B＋2E的三个特征值分别为9，9，3． 对应于特征值9的全部特征向量为 k1P-1η1＋k2P-1η2＝[*]，其中k1，k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P-1η3＝k3[*]，其中k3是不为零的任意常数．
解析
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考研数学一

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