设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x) 证明：∫0nTxf(x)dx＝f(x)dx(n为正整数)；

admin2022-06-09 57

问题设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x)
证明：∫₀^nTxf(x)dx＝

f(x)dx(n为正整数)；

选项

答案用换元法 ∫₀^nTxf(x)dx[*]nT∫₀^nTf(t)dt－∫₀^nTtf(t)dt，移项，得 ∫₀^nTxf(x)dx＝nT/2∫₀^nTf(x)dx 又由f(x)以T为周期，知∫₀^nTf(x)dx＝n∫₀^Tf(x)dx，故 ∫₀^nTxf(x)dx＝n²T/2∫₀^Tf(x)dx

解析

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