2. 考研
  3. 设a、b、c为三个不共线的平面向量，证明：它们首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是： a×b=b×c—c×a．

设a、b、c为三个不共线的平面向量，证明：它们首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是： a×b=b×c—c×a．

admin2017-11-13  68
问题 设a、b、c为三个不共线的平面向量，证明：它们首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是： a×b=b×c—c×a．
选项
答案向量a，b，c首尾相接恰好构成一个三角形的充分必要条件是a+b+c=0．因此，只要证明a+b+c=0<=>a×b=b×c=c×a． 必要性：因为a+b+c=0，两边分别用用向量b，c作叉积，得 [*] 则 a×b=b×c—c×a． 充分性：因为a×b=b×c=c×a，根据a×=b×c，得(a+c)×b=0，故(a+b+c)×b=0．所以，向量b与a+b+c平行． 类似地，根据a×b= c×a，b×c=c×a，亦可得到向量a与a+b+c平行，向量c与a+b+c平行． 又因为向量a、b、c为三个不共线的平面向量，所以a+b+c=0．
解析 本题主要考查向量加法的三角形法则、向量运算的概念及其运算律．
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考研数学一

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