设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: (Ⅰ)设A<B,则对∈(A,B),∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.

admin2018-06-27  40

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明:
(Ⅰ)设A<B,则对∈(A,B),∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.

选项

答案利用极限的性质转化为有界区间的情形. (Ⅰ)由[*]f(x)=A<μ及极限的不等式性质可知,[*]X1使得f(X1)<μ. 由[*]f(x)=B>μ可知,[*]X2>X1使得f(X2)>μ.因f(x)在[X1,X2]连续,f(X1)<μ<f(X2),由连续函数介值定理知[*]∈(X1,X2)[*](-∞,+∞),使得f(ξ)=μ. (Ⅱ)因[*],由存在极限的函数的局部有界性定理可知,[*]X1使得当∈(-∞,X1)时f(x)有界;[*]X2(>X1)使得当x∈(X2,+∞)时f(x)有界.又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知,f(x)在[X1,X2]上有界.因此f(x)在(-∞,+∞)上有界.

解析
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