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设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: (Ⅰ)设A<B,则对∈(A,B),∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: (Ⅰ)设A<B,则对∈(A,B),∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ; (Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.
admin
2018-06-27
42
问题
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限
证明:
(Ⅰ)设A<B,则对
∈(A,B),
∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)有界.
选项
答案
利用极限的性质转化为有界区间的情形. (Ⅰ)由[*]f(x)=A<μ及极限的不等式性质可知,[*]X
1
使得f(X
1
)<μ. 由[*]f(x)=B>μ可知,[*]X
2
>X
1
使得f(X
2
)>μ.因f(x)在[X
1
,X
2
]连续,f(X
1
)<μ<f(X
2
),由连续函数介值定理知[*]∈(X
1
,X
2
)[*](-∞,+∞),使得f(ξ)=μ. (Ⅱ)因[*],由存在极限的函数的局部有界性定理可知,[*]X
1
使得当∈(-∞,X
1
)时f(x)有界;[*]X
2
(>X
1
)使得当x∈(X
2
,+∞)时f(x)有界.又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知,f(x)在[X
1
,X
2
]上有界.因此f(x)在(-∞,+∞)上有界.
解析
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考研数学二
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