首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限存在,证明: (1)在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使; (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2-a2)=。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限存在,证明: (1)在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ,使; (3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2-a2)=。
admin
2014-01-26
64
问题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f’(x)>0.若极限
存在,证明:
(1)在(a,b)内f(x)>0;
(2)在(a,b)内存在点ξ,使
;
(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b
2
-a
2
)=
。
选项
答案
[详解1](1)因为f(x)在[a,b]上连续,且[*]存在,故 [*], 又f’(x)>0,于是f(x)在(a,b)内单调增加,故 f(x)>f(a)=0,x∈(a,b). (2)设F(x)=x
2
,g(x)=∫
a
x
f(t)dt(a≤x≤b),则g’(x)=f(x)>0,故F(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,于是在(a,b)内存在点ξ,使 [*] (3)因f(ξ)=f(ξ)-f(0)=f(ξ)-(a),在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理,知在(a,ξ)内存在一点η,使f(ξ)=f’(η)(ξ-a),从而由(2)的结论得 [*], 即有[*]。 [详解2](1)同详解1. (2)设F(x)=x
2
∫
a
b
f(t)dt-(b
2
-a
2
)∫
a
x
1.f(t)dt,因f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 F’(x)=2x∫
a
x
f(x)dt-(b
2
-a
2
)f(x), F(a)=a
2
∫
a
b
f(t)dt-(b
2
-a
2
)∫
a
a
f(t)dt=a
2
a
b
∫f(t)dt, F(b)=b
2
∫
a
b
f(t)dt-(b
2
-a
2
)∫
a
b
f(t)dt=a
2
∫
a
b
f(t)dt, 由罗尔定理知,在(a,b)内存在点ξ,使 F’(ξ)=2ξ∫
a
b
f(t)dt-(b
2
-a)
2
f(ξ)=0, 即[*] (3)由(1),(2)知, F’(ξ)-F’(a)=2(ξ-a)∫
a
b
f(t)dt-(b
2
-a
2
)f(ξ), 对F’(x)在[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理,知至少存在一点η∈(a,ξ),使 [*] f(ξ)=f’(η)(ξ-a),从而 [*]
解析
[分析] (1)由
存在知,f(a)=0,利用单调性即可证明f(x)>0.(2)要证的结论显含f(a),f(b),应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明.(3)注意利用(2)的结论证明即可.此题也可用罗尔定理证明.
[评注] 证明(3),关键是用(2)的结论:
可见对f(T)在区间[a,ξ]上应用拉格朗日中值定理即可.对于这类题目,应注意充分利用前面设的台阶,中值定理是高等数学的重点,而构造辅助函数又是解与中值定理有关的证明题的非常有用的方法之一,考生应逐步掌握这种方法,并在证明过程中注意推理的逻辑性和严密性.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jQ34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
(2005年)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求:(Ⅰ)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);(Ⅱ)Z=2X-Y的概率密度fZ(z);(Ⅲ)
(1996年)设某种商品的单价为P时,售出的商品数量Q可以表示成.其中a、b、c均为正数,且a>bc.1)求P在何范围变化时,使相应销售额增加或减少;2)要使销售额最大,商品单价P应取何值?最大销售额是多少?
(96年)设矩阵A=(1)已知A的一个特征值为3,试求y;(2)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
[2008年]设n元线性方程组AX=b,其中证明行列式|A|=(n+1)an;
(2009年)袋中有1个红球、2个黑球与3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一个球。以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(Ⅰ)求P{X=1|Z=0};(Ⅱ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布。
(92年)设函数问函数f(χ)在χ=1处是否连续?若不连续,修改函数在χ=1处的定义使之连续.
设Dk是圆域D={(x,y)|x2+y2≤1}在地k象限的部分,记Ik=(k=1,2,3,4),则
(01年)设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{|X+Y|≥6}≤_______.
计算二重积分,其中D={(x,y)|x2≤y≤1}。
设y=y(x)是二阶常系数微分方程y”+Py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解,则当x→0时,求函数[ln(1+x2)]/y(x)的极限.
随机试题
氧气自动切割的必要条件之一是燃点要高于熔点。()
科斯定律的理论前提是
呼吸衰竭的血气诊断标准是
企业法律顾问的工作原则是()
某高速公路工程全长160km,跨甲、乙两省市,划分为甲1、甲2、甲3和乙1、乙2、五个施工合同段,并相应设置现场监理机构。请按照监理规范的要求选择适当的监理组织形式,画出监理组织结构图,并分析该组织模式的优缺点。
以下不属于员工动态特征的是()。
女性,80岁。慢性咳嗽咳痰20余年,冬季加重。近5年活动后气促。1周前感冒后痰多,气促加剧。近2天嗜睡。血白细胞18.6×109/L,中性粒细胞占90%,动脉血气:pH7.29,PaCO280mmHg,PaO247mmHg,BE-3.5mmol/L引起
二战后世界经济走向统一的过程中,仍然存在着多样性,出现了“两种体系、三种国家”,下列不属于社会主义国家经济类型的是()。
交管局要求司机在通过某特定路段时,在白天也要像晚上一样使用大灯,结果发现这条路上的年事故发生率比从前降低了15%。他们得出结论说:如果在全市范围内都推行该项规定会同样地降低事故发生率。以下哪项如果为真.最能支持上述论证的结论?
在TCP/IP网络中,主机A和主机B通过一路由器互联,提供两主机应用层之间通信的层是(248),提供机器之间通信的层是(249),具有IP层和网络接口层的设备是(250);在A与路由器和路由器与B使用不同物理网络的情况下,主机A和路由器之间传送的数据帧与路
最新回复
(
0
)