2. 考研
  3. (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ1∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

(2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ1∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

admin2018-03-11  36
问题 (2007年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ1∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。
选项
答案构造辅助函数 F(x)=f(x)一g(x)， 由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，n)使得 [*] 若x1=x2，令c=x1，则F(c)=0。 若x12，因 F(x1)=f(x1)一g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)一g(x2)≤0， 从而存在c∈[x1，x2][*](a，b)，使F(c)=0。 在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 F′(ξ1)=F′(ξ2)=0。 再对F′(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，有F"(ξ)=0，即 f"(ξ)=g"(ξ)。
解析
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考研数学一

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