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  3. 解线性方程组

解线性方程组

admin2020-03-10  32
问题 解线性方程组
选项
答案解一 用初等行变换将其增广矩阵[*]化为含最高阶单位矩阵的矩阵[*]，即 [*] 显然秩[*]=秩(A)=3n=4，故一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量α．又因最高阶(三阶)单位矩阵位于A1中的第2，3，4列，故α的第2，3，4个分量分别为A1中其余的一列，即第1列的前3个分量反号，而α的第1个分量为一阶单位矩阵，即为1，因而 α=[1，－2，－1，－0]T=[1，－2，－1，0]T． 又由[*]的最后一列还得知一特解η0=[0，－2，3，6]T，于是原方程组的通解为 X=kα+η0 (k为任意实数)． 解二 用高斯消元法求解．对增广矩阵[*]作初等行变换，得到 [*] 已将[*]化成了行阶梯形，其与首非零元对应的未知量为x1，x2，x4，选它们为独立未知量，则x3就是自由未知量，于是易得到用自由未知量x3表示独立未知量的同解方程组，即 [*] 则方程组的通解用自由未知量可表示为 [*] 若令x3=k，也可得到方程组的参数形式的通解 x1=3－k， x2=－8+2k， x3=k， x4=6， 其中k为任意常数． 在此基础上也可将上述通解改写成用对应齐次方程组的基础解系和原方程组的一特解来表示，即 X=[x1，x2，x3，x4]T=[3－k，－8+2k，k，6]T=[3－k，－8+2k，0+k，6+0k]T =[3，－8，0，6]T+[－k，2k，k，0]T=[3，－8，0，6]T+k[－1，2，1，0]T． 可见，求出用自由未知量表示的通解①是求其他形式的通解的基础．
解析
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考研数学三

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