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  3. 设线性方程组 已知[1，一1，1，一1]T是方程组的一个解，试求： (I)方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解．

设线性方程组 已知[1，一1，1，一1]T是方程组的一个解，试求： (I)方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解．

admin2021-01-19  95
问题 设线性方程组

已知[1，一1，1，一1]T是方程组的一个解，试求：
(I)方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；
(Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解．
选项
答案将[1，一1，1，一1]T代入原方程组得λ=μ，从而将原方程组化为只含一个参数λ的方程组．讨论λ的取值情况求出其全部解，再在上述各种情况下的全部解中令x2=x3可求出任意常数受到约束的该方程组的通解． 将[1，一1，1，一1]T代入原方程组得到λ=μ，对增广矩阵作初等行变换得到 [*] (1)当λ=[*]时，[*]由基础解系和特解的简便求法，得到对应齐次方程的基础解系为 α1=[1，一3，1，0]T，[*]=[－1／2，一l，0，1]T，α2=[－1，一2，0，2]T， 特解η1=[－1／2，1，0，0]T，其全部解为 X=k1α1+k2α2+η=k1[1，一3，1，0]T+k2[－l，一2，0，2]T+[－1／2，1，0，0]T =[k1一k2一1／2，1—3k1一2k2，k1，2k2]T， k1，k2为任意常数． (2)当λ≠[*]时， [*] 因秩(A)=秩([*])=3＜4，故方程组有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到[*]=[一1，1／2，一1／2，1]T，取β=[一2，1，一1，2]T，特解为η2=[0，一1／2，1／2，0]，则其全部解为 X=kβ+η2=k[－2，1，一l，2]T+[0，一1／2，l／2，0]T=[－2k，k一1／2，一k+1／2，2k]T． (3)当λ=1／2时，由x2=x3即1—3k1一2k2=k1，解得k1=1／4一k2／2，故全部解为 X=[－1／4，1／4，1／4，0]T+k2[一3／2，一1／2，－1／2，2]T， k2为任意常数． 当λ=l／2时，由x2=x3也可解得k2=1／2－2k1，其全部解也可表示为 X=[一1，0，0，1]T+k1[3，1，1，一4]T， k1为任意常数． (4)当λ≠1／2时，由x3=x2得到k一1／2=一k+l／2，即k=1／2，原方程组的全部解为 X=[一1，0，0，1]T．
解析
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考研数学二

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