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设线性方程组 已知[1,一1,1,一1]T是方程组的一个解,试求: (I)方程组的全部解,并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解; (Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解.
设线性方程组 已知[1,一1,1,一1]T是方程组的一个解,试求: (I)方程组的全部解,并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解; (Ⅱ)该方程组x2=x3的全部解.
admin
2021-01-19
82
问题
设线性方程组
已知[1,一1,1,一1]
T
是方程组的一个解,试求:
(I)方程组的全部解,并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解;
(Ⅱ)该方程组x
2
=x
3
的全部解.
选项
答案
将[1,一1,1,一1]
T
代入原方程组得λ=μ,从而将原方程组化为只含一个参数λ的方程组.讨论λ的取值情况求出其全部解,再在上述各种情况下的全部解中令x
2
=x
3
可求出任意常数受到约束的该方程组的通解. 将[1,一1,1,一1]
T
代入原方程组得到λ=μ,对增广矩阵作初等行变换得到 [*] (1)当λ=[*]时,[*]由基础解系和特解的简便求法,得到对应齐次方程的基础解系为 α
1
=[1,一3,1,0]
T
,[*]=[-1/2,一l,0,1]
T
,α
2
=[-1,一2,0,2]
T
, 特解η
1
=[-1/2,1,0,0]
T
,其全部解为 X=k
1
α
1
+k
2
α
2
+η=k
1
[1,一3,1,0]
T
+k
2
[-l,一2,0,2]
T
+[-1/2,1,0,0]
T
=[k
1
一k
2
一1/2,1—3k
1
一2k
2
,k
1
,2k
2
]
T
, k
1
,k
2
为任意常数. (2)当λ≠[*]时, [*] 因秩(A)=秩([*])=3<4,故方程组有无穷多解.由基础解系和特解的简便求法得到[*]=[一1,1/2,一1/2,1]
T
,取β=[一2,1,一1,2]
T
,特解为η
2
=[0,一1/2,1/2,0],则其全部解为 X=kβ+η
2
=k[-2,1,一l,2]
T
+[0,一1/2,l/2,0]
T
=[-2k,k一1/2,一k+1/2,2k]
T
. (3)当λ=1/2时,由x
2
=x
3
即1—3k
1
一2k
2
=k
1
,解得k
1
=1/4一k
2
/2,故全部解为 X=[-1/4,1/4,1/4,0]
T
+k
2
[一3/2,一1/2,-1/2,2]
T
, k
2
为任意常数. 当λ=l/2时,由x
2
=x
3
也可解得k
2
=1/2-2k
1
,其全部解也可表示为 X=[一1,0,0,1]
T
+k
1
[3,1,1,一4]
T
, k
1
为任意常数. (4)当λ≠1/2时,由x
3
=x
2
得到k一1/2=一k+l/2,即k=1/2,原方程组的全部解为 X=[一1,0,0,1]
T
.
解析
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考研数学二
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