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设A是n阶非零实矩阵(n>2),并且AT=A*,证明A是正交矩阵.
设A是n阶非零实矩阵(n>2),并且AT=A*,证明A是正交矩阵.
admin
2019-02-23
48
问题
设A是n阶非零实矩阵(n>2),并且A
T
=A
*
,证明A是正交矩阵.
选项
答案
AA
T
=AA
*
=|A|E,因此只用证明|A|=1,就可由定义得出A是正交矩阵. 由于A≠0,有非零元素,设a
ij
≠0.则AA
T
的(i,i)位元素|A|=a
i1
2
+a
i2
2
+…+a
ij
2
+…a
in
2
>0,从而AA
T
≠0. 对等式AA
T
=|A|E,两边取行列式,得|A|
2
=|A|
n
,即|A|
n-2
=1.又由|A|>0,得出|A|=1.
解析
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考研数学二
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