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设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 利用上题的结果判断矩阵B一CTA—1C是否为正定矩阵,并证明结论。
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 利用上题的结果判断矩阵B一CTA—1C是否为正定矩阵,并证明结论。
admin
2019-01-13
48
问题
设
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。
利用上题的结果判断矩阵B一C
T
A
—1
C是否为正定矩阵,并证明结论。
选项
答案
由上一题中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以 矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B一C
T
A
—1
C是对称矩阵。 对m维零向量x=(0,0,…,0)
T
和任意n维非零向量y=(y
1
,y
2
,…y
n
)
T
,都有 [*] 即 y
T
(B一C
T
A
—1
C)y>0, 依定义,y
T
(B一C
T
A
—1
C)y为正定二次型,所以矩阵B一C
T
A
—1
C为正定矩阵。
解析
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考研数学二
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