已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2016-06-25 94

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(Am×n₂)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意x≠O，均有A^TX≠0，故 X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VBt4777K

考研数学二

相关试题推荐

设S(x)=∫0x|cost|dt.(1)证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求
设f′(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f′(x)|≤1/2|f(x)|.证明：f(x)=0，x∈[0，1].
设函数f(x)满足关系f″(x)+f′2(x)=x，且f(0)=0，则().
从正态总体x～N(0，σ2)中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ2的无偏估计量的是().
某商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商品的需求量Y之间是相互独立的，且都服从[10，20]上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元。计算此商店经销该种商品每周所
设f(x)=x/tanx，求f(x)的间断点并判断其类型．
设生产函数为Q=ALαKβ,其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A,α,β均为大于零的参数，则当Q=1时，K关于L的弹性为________。
求下列微分方程的通解。sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

随机试题

鲁迅的小说《风波》选自()
A．安全性B．有效性C．经济性D．适当性E．相对性获得单位用药效果所投入的成本尽可能低是合理用药的
尤善治肺胃出血之证的是
施工企业工程成本的核算不包括(　　)。
根据增值税法律制度的规定，下列行为中，应当缴纳增值税的是()。
小明在学习燃烧和灭火后，学习笔记中有下列四条，其中无科学性错误的是()。
中唐诗人______笔下的“草色遥看近却无”与盛唐诗人王维诗中的“白云回望合，______”有异曲同工之妙，一直为人们所传诵。
民警违反“五条禁令”的，所在单位直接领导、主要领导不负领导责任。()
ItwasthefirsttimeJamesfeltthathehadachievedsomething,whichisprettydifficultby_____.
Couldyougivemeahand______fromthecar,please?

最新回复(0)

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

考研数学二

设S(x)=∫0x|cost|dt.(1)证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；(2)求

设f′(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f′(x)|≤1/2|f(x)|.证明：f(x)=0，x∈[0，1].

设函数f(x)满足关系f″(x)+f′2(x)=x，且f(0)=0，则().

从正态总体x～N(0，σ2)中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ2的无偏估计量的是().

设f(x)=x/tanx，求f(x)的间断点并判断其类型．

设生产函数为Q=ALαKβ,其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A,α,β均为大于零的参数，则当Q=1时，K关于L的弹性为________。

求下列微分方程的通解。sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

鲁迅的小说《风波》选自()

A．安全性B．有效性C．经济性D．适当性E．相对性获得单位用药效果所投入的成本尽可能低是合理用药的

尤善治肺胃出血之证的是

施工企业工程成本的核算不包括( )。

根据增值税法律制度的规定，下列行为中，应当缴纳增值税的是()。

小明在学习燃烧和灭火后，学习笔记中有下列四条，其中无科学性错误的是()。

中唐诗人______笔下的“草色遥看近却无”与盛唐诗人王维诗中的“白云回望合，______”有异曲同工之妙，一直为人们所传诵。

民警违反“五条禁令”的，所在单位直接领导、主要领导不负领导责任。()

ItwasthefirsttimeJamesfeltthathehadachievedsomething,whichisprettydifficultby_____.

Couldyougivemeahand______fromthecar,please?

施工企业工程成本的核算不包括(　　)。

中唐诗人笔下的“草色遥看近却无”与盛唐诗人王维诗中的“白云回望合，”有异曲同工之妙，一直为人们所传诵。