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证明不等式3χ<tanχ+2sinχ,χ∈(0,)
证明不等式3χ<tanχ+2sinχ,χ∈(0,)
admin
2017-11-30
42
问题
证明不等式3χ<tanχ+2sinχ,χ∈(0,
)
选项
答案
设f(χ)=tanχ+2sinχ-3χ,χ∈(0,[*]), 则f(χ)=sec
2
χ+2cosχ-3, f〞(χ)=2sec
2
χtanχ-2sinχ=2sinχ(sec
3
χ-1), 由于当χ∈(0,[*])时sinχ>0,sec
3
χ->0,则f〞(χ)>0,函数 f(χ)=sec
2
χ+2cosχ-3 为增函数,且f′(0)=0,因此χ∈(0,[*])时, f′(χ)=sec
2
+2cosχ-3>0, 进一步得函数f(χ)为增函数,由于f(0)=0,因此 f(χ)=tanχ+2sinχ-3χ>f(0)=0,χ∈(0,[*]), 即不等式3χ<tanχ+2sinχ,χ∈(0,[*])成立。
解析
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考研数学一
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