已知(x－1))y″－xy′+y=0的一个解是y1=x，又知=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y″－xy′+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=___________．

admin2016-10-26 42

问题已知(x－1))y″－xy′+y=0的一个解是y₁=x，又知

=e_x－(x₂+x+1)，y^*=－x²－1均是(x－1)y″－xy′+y=(x－1)²的解，则此方程的通解是y=___________．

选项

答案C₁x+C₂e^x一x²一1

解析由非齐次方程(x一1)y″一xy′+y=(x一1)²的两个特解

与y^*可得它的相应齐次方程的另一特解

一y^*=e^x一x，事实上y₂=(e^x一x)+x=e^x也是该齐次方程的解，又e^x与x线性无关．因此该非齐次方程的通解是y=C₁x+C₂e^x一x²一1，其中C₁，C₂为任意常数．

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