设f(x)二阶可导,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得 f"(ξ)一f′(ξ)+1=0.

admin2020-03-10  43

问题 设f(x)二阶可导,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得
              f"(ξ)一f′(ξ)+1=0.

选项

答案由[*]得f(0)=0,f′(0)=1, 由拉格朗日中值定理,存在c∈(0,1),使得[*] 令φ(x)=e-x[f′(x)一1],φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(x)=e-xFf"(x)一f′(x)+1]且e-x≠0,故 f"(ξ)一f′(ξ)+1=0.

解析
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