2. 考研
  3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且，证明： (Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。

admin2019-01-15  41
问题 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且，证明：
(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数；
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数。
选项
答案方法一：(Ⅰ)[*] 若f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)。故 [*] 即F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数，则需证F’(x)＜0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知[*] 则有[*] 因f(x)是单调减函数，t介于0与x之间，所以当x＞0时，f(x)-f(t)＜0，故F’(x)＜0；当x＜0时，f(x)-f(t)＞0，故F’(x)＜0；当x=0时，F’(0)=0。 即x∈(-∞，+∞)时，F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立，因此F(x)也是单调减函数。 方法二：(Ⅰ)用函数奇偶性质，[*]。 因f(t)是偶函数，则tf(t)是奇函数。而f(t)是偶函数[*]是奇函数[*]是偶函数；tf(t)是奇函数[*]是偶函数。因此，由偶函数的性质知F(x)是偶函数。 (Ⅱ)由[*]，由积分中值定理知，存在一点ξ∈(0，x)，使得[*]，故 F’(x)=xf(x)-f(ξ)x=x[f(x)-f(ξ)]。 与方法以同样讨论可知F(x)是单调减函数。
解析
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考研数学三

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