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设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且,证明: (Ⅰ)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数; (Ⅱ)若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且,证明: (Ⅰ)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数; (Ⅱ)若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
admin
2019-01-15
69
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且
,证明:
(Ⅰ)若f(x)是偶函数,则F(x)也是偶函数;
(Ⅱ)若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
选项
答案
方法一:(Ⅰ)[*] 若f(x)是偶函数,则有f(-x)=f(x)。故 [*] 即F(x)也是偶函数。 (Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数,则需证F
’
(x)<0或F
’
(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知[*] 则有[*] 因f(x)是单调减函数,t介于0与x之间,所以当x>0时,f(x)-f(t)<0,故F
’
(x)<0;当x<0时,f(x)-f(t)>0,故F
’
(x)<0;当x=0时,F
’
(0)=0。 即x∈(-∞,+∞)时,F
’
(x)≤0且符号仅在x=0时成立,因此F(x)也是单调减函数。 方法二:(Ⅰ)用函数奇偶性质,[*]。 因f(t)是偶函数,则tf(t)是奇函数。而f(t)是偶函数[*]是奇函数[*]是偶函数;tf(t)是奇函数[*]是偶函数。因此,由偶函数的性质知F(x)是偶函数。 (Ⅱ)由[*],由积分中值定理知,存在一点ξ∈(0,x),使得[*],故 F
’
(x)=xf(x)-f(ξ)x=x[f(x)-f(ξ)]。 与方法以同样讨论可知F(x)是单调减函数。
解析
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考研数学三
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