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设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,则下列说法正确的是 ( ) ①若f’’(x)>0,则∫01f(x)dx>f(1/2) ②若f’’(x)>0,则∫01f(x)dx<f(1/2) ③若f’’(x)<0,则∫01f(x)dx>f(
设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,则下列说法正确的是 ( ) ①若f’’(x)>0,则∫01f(x)dx>f(1/2) ②若f’’(x)>0,则∫01f(x)dx<f(1/2) ③若f’’(x)<0,则∫01f(x)dx>f(
admin
2022-06-09
44
问题
设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,则下列说法正确的是 ( )
①若f’’(x)>0,则∫
0
1
f(x)dx>f(1/2)
②若f’’(x)>0,则∫
0
1
f(x)dx<f(1/2)
③若f’’(x)<0,则∫
0
1
f(x)dx>f(1/2)
④若f’’(x)<0,则∫
0
1
f(x)dx<f(1/2)
选项
A、①④
B、②③
C、②④
D、①③
答案
A
解析
由已知,比较∫
0
1
f(x)dx与f(1/2)=∫
0
1
f(1/2)dx的大小
当f’’(x)>0 时,由泰勒公式,得
f(x)=f(1/2)+f’(1/2)(x-1/2)-f’’(ξ)(x-1/2)
2
(ξ介于1/2之间)
≥f(1/2)+f’(1/2)(x-1/2)
当且仅当x=1/2时,等号成立,故∫
0
1<
f(x)dx>∫
0
1
f(1/2)dx+(x-1/2)dx
=∫
0
1
(1/2)dx>∫
0
1
f(1/2)dx+∫
0
1
f’(1/2)(x-1/2)dx
=∫
0
1
f(1/2)dx+0=f(1/2)
同理可知,当f’’(x)<0时,有∫
0
1
f(1/2)dx<f(1/2),故A正确
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/O9f4777K
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考研数学二
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