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已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
admin
2022-09-22
16
问题
已知函数y=y(x)满足微分方程x
2
+y
2
y’=1-y’,且y(2)=0,求y(x)的极大值与极小值.
选项
答案
由x
2
+y
2
y’=1-y’,得 (y
2
+1)y’=1-x
2
. ① 此时方程①为可分离变量方程,两边积分,得通解为 [*] 由y(2)=0,得C=2/3.因此[*] 由①可得y’(x)=[*]令y’(x)=0时,解得驻点x=±1. 当x<-1或x>1时,y’(x)<0;当-1<x<1时,y’(x)>0. 因此y(x)在x=-1处取得极小值,极小值为y(-1)=0; y(x)在x=1处取得极大值,极大值为y(1)=1.
解析
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考研数学二
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