2. 考研
  3. 设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．

设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．

admin2020-03-16  57
问题 设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛，并求其极限值．
选项
答案设f(x)=[*]＜0，所以f(x)在[0，+∞)上单调减少． 由于a1=1，a2=[*]，可知a1＞a3＞a2，而f(x)在[0，+∞)上单调减少，所以有f(a1)＜f(a3)＜f(a2)，即a2＜a4＜a3，所以a1＞a3＞a4＞a2，递推下去就可以得到 a1＞a3＞a5＞…＞a2n一1＞…＞a2n＞…＞a6＞a4＞a2． 由此可以肯定，给定数列的奇数项子数列{a2n一1}单调减少且有下界a2=[*]，偶数项子数列{a2n}单调增加且有上界a1=1，所以他们都收敛．设他们的极限分别为正数P和Q，即 [*]=Q． 在an+1=f(an)两边同取n→∞时的极限，根据函数f(x)的连续性，有 [*]
解析
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考研数学二

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