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  3. 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2019-01-15  88
问题 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
选项
答案由已知得[*]，故有y’(1+x2)=1。上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x2)(n)=0，因此由莱布尼茨公式 C0n(y’)(n)(1+x2)+ C1n(y’)(n-1)(1+x2)’+ C2n(y’)(n-2)(1+x2)’’=0，即(1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+(n-1)ny(n-1)=0。 令x=0，得 y(n+1)(0)+(n-1)ny(n-1)(0)=0，根据该递推关系，则y(n)(0)=(1-n)(n-2)y(n-2)(0)，n≥2。 由y(0)=0，y’(0)=1及以上递推公式，得y(2k)(0)=0，k=1，2，…， y(2k+1)(0)=(-1)k(2k)！，k=0，1，2，…。
解析
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考研数学三

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