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试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
admin
2019-01-15
44
问题
试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
选项
答案
由已知得[*],故有y
’
(1+x
2
)=1。上式两边对x求n阶导数,当n≥3时(1+x
2
)
(n)
=0,因此由莱布尼茨公式 C
0
n
(y
’
)
(n)
(1+x
2
)+ C
1
n
(y
’
)
(n-1)
(1+x
2
)
’
+ C
2
n
(y
’
)
(n-2)
(1+x
2
)
’’
=0,即(1+x
2
)y
(n+1)
+2nxy
(n)
+(n-1)ny
(n-1)
=0。 令x=0,得 y
(n+1)
(0)+(n-1)ny
(n-1)
(0)=0,根据该递推关系,则y
(n)
(0)=(1-n)(n-2)y
(n-2)
(0),n≥2。 由y(0)=0,y
’
(0)=1及以上递推公式,得y
(2k)
(0)=0,k=1,2,…, y
(2k+1)
(0)=(-1)
k
(2k)!,k=0,1,2,…。
解析
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考研数学三
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