试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2019-01-15 80

问题试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

选项

答案由已知得[*]，故有y^’(1+x²)=1。上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x²)⁽ⁿ⁾=0，因此由莱布尼茨公式 C⁰_n(y^’)⁽ⁿ⁾(1+x²)+ C¹_n(y^’)^(n-1)(1+x²)^’+ C²_n(y^’)^(n-2)(1+x²)^’’=0，即(1+x²)y⁽ⁿ⁺¹⁾+2nxy⁽ⁿ⁾+(n-1)ny^(n-1)=0。令x=0，得 y⁽ⁿ⁺¹⁾(0)+(n-1)ny^(n-1)(0)=0，根据该递推关系，则y⁽ⁿ⁾(0)=(1-n)(n-2)y^(n-2)(0)，n≥2。由y(0)=0，y^’(0)=1及以上递推公式，得y^(2k)(0)=0，k=1，2，…， y^(2k+1)(0)=(-1)^k(2k)！，k=0，1，2，…。

解析

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