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  3. (I)已知在(－∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数.

(I)已知在(－∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数.

admin2019-02-20  54
问题 (I)已知在(－∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数.
选项
答案易求得 [*] 仅当A=0时f(x)在x=0连续．于是f(x)在(－∞，+∞)连续，从而存在原函数．当A≠0时，x=0是f(x)的第一类间断点，从而f(x)在(－∞，+∞)不存在原函数．因此求得A=0．下求f(x)的原函数． 方法1 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的．由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数． 当x＜0时， [*] 当x＞0时， [*] 取C1=0，随之取C2=1，于是当x→0－时与x→0+时[*]的极限同为1，这样就得到f(x)的一个原函数 [*] 因此[*]其中C为任意常数． 方法2 由f(x)是连续函数知f(x)一定存在原函数，并且对任意常数a变上限定积分[*]均为f(x)的一个原函数。由于x=0是分段函数f(x)的分界点，因此可取a=0．下面求[*] 当x＜0时， [*] 当x＞0时， [*] 于是求得f(x)的一个原函数 [*] 因此 [*]其中C为任意常数．
解析
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考研数学三

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