(I)已知在(-∞,+∞)存在原函数,求常数A以及f(x)的原函数.

admin2019-02-20  29

问题 (I)已知在(-∞,+∞)存在原函数,求常数A以及f(x)的原函数.

选项

答案易求得 [*] 仅当A=0时f(x)在x=0连续.于是f(x)在(-∞,+∞)连续,从而存在原函数.当A≠0时,x=0是f(x)的第一类间断点,从而f(x)在(-∞,+∞)不存在原函数.因此求得A=0.下求f(x)的原函数. 方法1 被积函数是分段定义的连续函数,它存在原函数,也是分段定义的.由于原函数必是连续的,我们先分段求出原函数,然后把它们连续地粘合在一起,就构成一个整体的原函数. 当x<0时, [*] 当x>0时, [*] 取C1=0,随之取C2=1,于是当x→0时与x→0+时[*]的极限同为1,这样就得到f(x)的一个原函数 [*] 因此[*]其中C为任意常数. 方法2 由f(x)是连续函数知f(x)一定存在原函数,并且对任意常数a变上限定积分[*]均为f(x)的一个原函数。由于x=0是分段函数f(x)的分界点,因此可取a=0.下面求[*] 当x<0时, [*] 当x>0时, [*] 于是求得f(x)的一个原函数 [*] 因此 [*]其中C为任意常数.

解析
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