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设二次型,其中二次型的矩阵A的特征值的和为l,特征值的乘积为-12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型,其中二次型的矩阵A的特征值的和为l,特征值的乘积为-12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
admin
2019-11-03
42
问题
设二次型
,其中二次型的矩阵A的特征值的和为l,特征值的乘积为-12。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A[*] 设A的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
满足已知条件,则λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2-2=1,λ
1
+λ
2
+λ
3
=|A|=-4a-2b
2
=-12。解得a=l,b=±2,已知b>0,因此a=1,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 解得A的三个特征值分别为2,2,-3。 由 [*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个,分别为ξ
1
=(0,1,0)
T
,ξ
2
=(2,0,1)
T
。 由 [*] 可求得属于特征值一3的特征向量为ξ
3
=(1,0,一2)
T
。 由于A的三个特征向量已经两两正交,因此只需要单位化,即 [*] 可得正交矩阵 [*] 令x=Qy,则有 [*]
解析
本题主要考查特征值的性质、特征值和特征向量的求解以及用正交变换法化二次型为标准形。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OFS4777K
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考研数学一
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