设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

admin2019-11-03 21

问题设二次型

，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A[*] 设A的特征值λ₁，λ₂，λ₃满足已知条件，则λ₁＋λ₂＋λ₃＝a+2-2＝1，λ₁＋λ₂＋λ₃＝｜A｜＝-4a－2b²＝-12。解得a＝l，b＝±2，已知b>0，因此a＝1，b＝2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 解得A的三个特征值分别为2，2，－3。由 [*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个，分别为ξ₁＝(0，1，0)^T，ξ₂＝(2，0，1)^T。由 [*] 可求得属于特征值一3的特征向量为ξ₃＝(1，0，一2)^T。由于A的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 [*] 可得正交矩阵 [*] 令x＝Qy,则有 [*]

解析本题主要考查特征值的性质、特征值和特征向量的求解以及用正交变换法化二次型为标准形。

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考研数学一

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设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．

设函数，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

求函数f(x)=nx(1－x)n在[0，1]上的最大值M(n)及

(1)A，B为n阶方阵，证明：(2)计算

设a，b，c＞0，在椭球面的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?

设线性方程组已知(1，－1，1，－1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解．

位于上半平面的上凹曲线y＝y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1＋y2’之积成反比，比例系数为，求y＝y(x)．

(I)设z=z(x，y)，y>0有连续的二阶偏导数且满足作变换，证明(Ⅱ)求方程的解．[img][/img]

函数y=f(x)在(-∞，+∞)上连续，其二阶导函数的图形如图1-2-2所示，则y=f(x)的拐点个数是()

柏拉图的美育观

在组织或尿沉淀细胞核内观察到猫眼状包涵体，有助于诊断的疾病是

患者，女，47岁。既往有胆道结石病史，今天出现持续性明显腹痛，放射到腰背部，伴呕吐。查体：上腹部肌紧张，明显压痛伴反跳痛，肠鸣音减弱。诊断应考虑

为取代苯甲酸衍生物，分子中含有一个手性碳，S—异构体的活性大于R—异构体，在体内代谢迅速，作为餐时血糖调节剂的降血糖药物是

(2010年国家司法考试真题)甲公司因与乙公司合同纠纷申请仲裁，要求解除合同。某仲裁委员会经审理裁决解除双方合同，还裁决乙公司赔偿甲公司损失6万元。关于本案的仲裁裁决，下列哪些表述是正确的?()

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