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  3. 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

admin2014-02-05  77
问题 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得
选项
答案由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M，由题(I)知M>0．方法1。要证[*]在(0，1)存在零点[*]在(0，1)存在零点．对n=1，2，3，…引入辅助函数[*]→Fn(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，Fn(0)=f(0)=0．再找Fn(x)在(0，1)的一个零点．因[*]→存在ξn∈(x，1)使得Fn(ξm)=0．在[0，ξn][*][0，1]上对Fn(x)用罗尔定理→存在xn∈(0，ξn)[*](0，1)，Fn’(xn)=0，即[*]方法2。同前分析，作辅助函数[*]由Fn(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且[*]Fn(x)在[0，1]的最大值不能在x=0或x=1取到．[*]由费马定理→Fn’(xn)=0，即[*]方法3。先证[*]是f’(x)的某一中间值．因f’(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξp∈(0，xM)使得[*]亦即[*]由连续函数中间值定理→存在xn∈(ξn，xM)[*](0，1)，使得[*]最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))f’(x)在(0，1)单调减少→在区间(0，1)内[*]的点是唯一的，即xn．
解析
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考研数学二

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