2. 考研
  3. (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

admin2021-01-25  95
问题 (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数．
(Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
选项
答案(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx+∫2t+2f(x)dx． 令s=x一2，则有 ∫2t+2f(x)dx=∫0tf(s+2)ds=∫0tf(s)ds=一∫t0f(x)dx 所以 ∫tt+2f(x)dx=∫t0f(x)dx+∫02f(x)dx－∫t0f(x)dx=∫02f(x)dx (Ⅱ)由于∫tt+2f(s)ds—∫02f(s)ds 记 ∫02f(s)ds=a 则 G(x)=2∫0xf(t)dt—ax 因为对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫0x+2f(t)dt—a(x+2)一2∫0xf(t)dt+ax =2∫xx+2f(t)dt一2a=2∫02f(t)dt一2a=0，所以，G(x)是周期为2的周期函数．
解析
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考研数学三

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