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(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(x)dx=∫02f(x)dx； (Ⅱ)证明G(x)=∫0x[2f(t)一∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
admin
2021-01-25
53
问题
(2008年)设f(x)是周期为2的连续函数．
(Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫
t
t+2
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx；
(Ⅱ)证明G(x)=∫
0
x
[2f(t)一∫
t
t+2
f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
选项
答案
(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx+∫
2
t+2
f(x)dx． 令s=x一2，则有 ∫
2
t+2
f(x)dx=∫
0
t
f(s+2)ds=∫
0
t
f(s)ds=一∫
t
0
f(x)dx 所以 ∫
t
t+2
f(x)dx=∫
t
0
f(x)dx+∫
0
2
f(x)dx－∫
t
0
f(x)dx=∫
0
2
f(x)dx (Ⅱ)由于∫
t
t+2
f(s)ds—∫
0
2
f(s)ds 记 ∫
0
2
f(s)ds=a 则 G(x)=2∫
0
x
f(t)dt—ax 因为对任意的x， G(x+2)一G(x)=2∫
0
x+2
f(t)dt—a(x+2)一2∫
0
x
f(t)dt+ax =2∫
x
x+2
f(t)dt一2a=2∫
0
2
f(t)dt一2a=0，所以，G(x)是周期为2的周期函数．
解析
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0
考研数学三
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