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[2007年] 设二元函数计算二重积分其中D={(x,y)||x|+|y|≤2}.
[2007年] 设二元函数计算二重积分其中D={(x,y)||x|+|y|≤2}.
admin
2021-01-25
50
问题
[2007年] 设二元函数
计算二重积分
其中D={(x,y)||x|+|y|≤2}.
选项
答案
解一 由区域的对称性和被积函数的奇偶性,有 [*] 其中D
1
为D在第一象限的部分,而 D=D
11
+D
22
={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x)+{(x,y)|1≤x+y≤2,x≥0,y≥0}, 如图1.4.5.12所示.易求得 [*] 因D
22
上的被积函数为[*]可用极坐标系计算.令x=rcosθ,y=rsinθ.在极坐标系(r,θ)中,x+y=1的极坐标方程是[*]的极坐标方程是[*]因而 [*] 解二 由解一得到 [*] 令[*]作变量代换,则θ=2arctant,于是θ:[*]时,有t:0→1,且 [*] 代入即得 [*] 综上所述,得到 [*]
解析
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考研数学三
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