[2007年] 设二元函数计算二重积分其中D={(x，y)｜|x|+|y|≤2}．

admin2021-01-25 57

问题 [2007年] 设二元函数

计算二重积分

其中D={(x，y)｜|x|+|y|≤2}．

选项

答案解一由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有 [*] 其中D₁为D在第一象限的部分，而 D=D₁₁+D₂₂={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1－x)+{(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}，如图1．4．5．12所示．易求得 [*] 因D₂₂上的被积函数为[*]可用极坐标系计算．令x=rcosθ，y=rsinθ．在极坐标系(r，θ)中，x+y=1的极坐标方程是[*]的极坐标方程是[*]因而 [*] 解二由解一得到 [*] 令[*]作变量代换，则θ=2arctant，于是θ：[*]时，有t：0→1，且 [*] 代入即得 [*] 综上所述，得到 [*]

解析

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