(18年)设数列{xn}满足：x1＞0，(n=1，2，…：)．证明{xn}收敛，并求

admin2018-07-27 43

问题 (18年)设数列{x_n}满足：x₁＞0，

(n=1，2，…：)．证明{x_n}收敛，并求

选项

答案由于x₁≠0，所以[*] 根据微分中值定理，存在ξ∈(0，x₁)，使得[*] 所以[*]故0＜x₂＜x₁．假设0＜x_n+1＜x_n，则 [*] 所以0＜x_n+2＜x_n+1．故{x_n}是单调减少的数列，且有下界，从而{x_n}收敛．设[*]得ae^a=e^a一1．易知a=0为其解．令f(x)=xe^x一e^x+1，则f’(x)=xe^x．当x＞0时，f’(x)＞0，函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以a=0是：疗程ae^a=e^a-1在[0，+∞)上的唯一解．故[*]

解析

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