2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2014-08-19  59
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
选项
答案引入辅助函数F(x)=∫0πf(t)dt，0≤x≤π，则F(0)=0，F(π)=0． 又由[*]因此必存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正(或负)， 均与∫π’(x)sinxdx=0矛盾．当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0， 因此F(ξ)=0．综上知F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0＜ξ＜π， 在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理，则至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π) 使得F’(ξ1)=F’(ξ1)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．
解析
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考研数学二

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