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设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2014-08-19
60
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
引入辅助函数F(x)=∫
0
π
f(t)dt,0≤x≤π,则F(0)=0,F(π)=0. 又由[*]因此必存在一点ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0,否则F(x)sinx在(0,π)内恒正(或负), 均与∫
π
’
(x)sinxdx=0矛盾.当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0, 因此F(ξ)=0.综上知F(0)=F(ξ)=F(π)=0,0<ξ<π, 在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理,则至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π) 使得F
’
(ξ
1
)=F
’
(ξ
1
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
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考研数学二
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