设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2014-08-19  45

问题 设函数f(x)在[0,π]上连续,且试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

选项

答案引入辅助函数F(x)=∫0πf(t)dt,0≤x≤π,则F(0)=0,F(π)=0. 又由[*]因此必存在一点ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0,否则F(x)sinx在(0,π)内恒正(或负), 均与∫π(x)sinxdx=0矛盾.当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0, 因此F(ξ)=0.综上知F(0)=F(ξ)=F(π)=0,0<ξ<π, 在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理,则至少存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π) 使得F1)=F1)=0,即f(ξ1)=f(ξ2)=0.

解析
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