设x∈(0，1)，证明： (1+x)ln2(1+x)＜x2；

admin2019-12-26 91

问题设x∈(0，1)，证明：
(1+x)ln²(1+x)＜x²；

选项

答案(1)令f(x)=(1+x)ln²(1+x)－x²，则f(0)=0． f′(x)=ln²(1+x)+21n(1+x)-2x，f′(0)=0． [*] 当x＞0时，ln(1+x)＜x，故f"(x)＜0，f′(x)单调减少；f′(x)＜f′(0)=0，故f(x)单调减少，从而有f(x)＜f(0)=0．即 (1+x)ln²(1+x)＜x²．

解析

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