2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立；

设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立；

admin2019-02-20  34
问题 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b．
    (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则
        
对任何x∈(x1，x2)成立；
选项
答案【证法一】 有 (x2－x)[f(x)－f(x1)]＜(x－x1)[f(x2)－f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x2－x)[f(x)－f(x1)]=(x2－x)(x－x1)f’(ξ1)，x1＜ξ1＜x， (x－x1)[f(x2)－f(x)]=(x－x1)(x2－x)f’(ξ2)，x＜ξ2＜x2． 由f"(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ1)＜f’(ξ2)，由此即知等价不等式成立，从而(I)成立． 【证法二】 引进辅助函数 [*] 则 [*] 故F(x)的图形在[x1，x2][*](a，b)上为凹的．由F(x1)=F(x2)=0可知F(x)＜0，从而不等式成立．
解析
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考研数学三

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