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设f(x)在(a,b)内二阶可导,且0<x1<x2<b. (I)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则 对任何x∈(x1,x2)成立;
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且0<x1<x2<b. (I)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则 对任何x∈(x1,x2)成立;
admin
2019-02-20
40
问题
设f(x)在(a,b)内二阶可导,且0<x
1
<x
2
<b.
(I)若x∈(a,b)时f"(x)>0,则
对任何x∈(x
1
,x
2
)成立;
选项
答案
【证法一】 有 (x
2
-x)[f(x)-f(x
1
)]<(x-x
1
)[f(x
2
)-f(x)], 由拉格朗日中值定理知 (x
2
-x)[f(x)-f(x
1
)]=(x
2
-x)(x-x
1
)f’(ξ
1
),x
1
<ξ
1
<x, (x-x
1
)[f(x
2
)-f(x)]=(x-x
1
)(x
2
-x)f’(ξ
2
),x<ξ
2
<x
2
. 由f"(x)>0知f’(x)单调增加,故f’(ξ
1
)<f’(ξ
2
),由此即知等价不等式成立,从而(I)成立. 【证法二】 引进辅助函数 [*] 则 [*] 故F(x)的图形在[x
1
,x
2
][*](a,b)上为凹的.由F(x
1
)=F(x
2
)=0可知F(x)<0,从而不等式成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OTP4777K
0
考研数学三
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