2. 考研
  3. 设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明： ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．

设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明： ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．

admin2021-07-27  49
问题 设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明：
ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．
选项
答案显然ABηi=0，i=1，2，…，r2，又AB=BA，所以ABξi=0，i=1，2，…，r1，故ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr1是方程组ABx=0的r1+r2个线性无关的解向量．又r(AB)≥r(A)+r(B)-n=(n-r1)+(n-r2)-n=n-(r1+r2)，所以ABx=0的基础解系中至多有n-[n-(r1+r2)]=r1+r2个解向量，从而ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr1为ABx=0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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