设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明： ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．

admin2021-07-27 42

问题设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ₁，…，ξ_r1和η₁，…，η_r2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明：
ξ₁，…，ξ_r1，η₁，…，η_r2是方程组ABx=0的一个基础解系．

选项

答案显然ABη_i=0，i=1，2，…，r₂，又AB=BA，所以ABξ_i=0，i=1，2，…，r₁，故ξ₁，…，ξ_r1，η₁，…，η_r1是方程组ABx=0的r₁+r₂个线性无关的解向量．又r(AB)≥r(A)+r(B)-n=(n-r₁)+(n-r₂)-n=n-(r₁+r₂)，所以ABx=0的基础解系中至多有n-[n-(r₁+r₂)]=r₁+r₂个解向量，从而ξ₁，…，ξ_r1，η₁，…，η_r1为ABx=0的一个基础解系．

解析

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考研数学二

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设n阶矩阵A，B乘积可交换，ξ1，…，ξr1和η1，…，ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系，且对于n阶矩阵C，D，满足r(CA+DB)=n．证明： ξ1，…，ξr1，η1，…，ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系．

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