(Ⅰ)求微分方程=0的通解及满足y(1)=1的特解; (Ⅱ)求微分方程(yeχ+2eχ+y2)dχ+(eχ+2χy)dy=0的通解.

admin2018-06-12  25

问题 (Ⅰ)求微分方程=0的通解及满足y(1)=1的特解;
    (Ⅱ)求微分方程(yeχ+2eχ+y2)dχ+(eχ+2χy)dy=0的通解.

选项

答案先判断类型,然后再求解. (Ⅰ)原微分方程两边乘以y4后并改写成 [*] 这是齐次方程u=[*],原方程变成可分离变量的方程 [*] 分离变量得 [*] 积分得[*] 即ln[*]=ln|χ|+C1,亦即[*]=Cχ, 代入u=[*],得通解[*]=C,其中C为[*]常数. 令χ=1,y=1得C=0,于是得满足y(1)=1的特解y=χ. (Ⅱ)这不是可分离变量的或齐次的,也不是一阶线性等类型的方程.考察一下是否是全微分方程. 将方程表为Pdχ+Qdy=0([*]χ,y).因 [*] 所以原方程是全微分方程,求它的通解归结为求Pdχ+Qdy的原函数. (y+2)deχ+y2dχ+eχd(y+2)+χdy2=0, 由微分法则得d[(y+2)eχ+χy2]=0. 因此通解为(y+2)eχ+χy2=C,其中C为[*]常数.

解析
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