2. 考研
  3. η*是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： (1)η*，ξ1…，ξn-r线性无关； (2)η*，η*＋ξ1，…，η*＋ξn-r线性无关．

η*是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明： (1)η*，ξ1…，ξn-r线性无关； (2)η*，η*＋ξ1，…，η*＋ξn-r线性无关．

admin2016-05-09  54
问题 η*是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个解，ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系．证明：
    (1)η*，ξ1…，ξn-r线性无关；
    (2)η*，η*＋ξ1，…，η*＋ξn-r线性无关．
选项
答案(1)假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得下式成立 c0η*＋c1ξ1＋…＋cn-rξn-r＝0， (1) 用矩阵A左乘上式两边，得 0＝A(c0η*＋c1ξ1＋…＋cn-rξn-r)＝c0Aη*＋c1Aξ1＋…＋cn-rAξn-r＝c0b， 其中b≠0，则由上式c0＝0，于是(1)式变为 c1ξ1＋…＋cn-rξn-r＝0， ξ1，…，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，…，ξn-r线性无关，因此c1＝c2＝…＝cn-r＝0，与线性相关矛盾． 因此由定义知，η*，ξ1，…，ξn-r线性无关． (2)假设η*，η*＋ξ1，η*＋ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得下式成立 c0η*＋c1(η*＋ξ1)＋…＋cn-r(η*＋ξn-r)＝0， 即(c0＋c1＋…＋cn-r)η*＋c1ξ1＋…＋cn-rξn-r＝0． (2) 用矩阵A左乘上式两边，得 0＝A[(c0＋c1＋…＋cn-r)η*＋c1ξ1＋…＋cn-rξn-r] ＝(c0＋c1…＋cn-r)Aη*＋c1Aξ1＋…＋cn-rAξn-r ＝(c0＋c1…＋cn-r)b， 因为b≠0，故c0＋c1＋…＋cn-r＝0，代入(2)式，有 c1ξ1＋…＋cn-rξn-r＝0， ξ1，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn-r线性无关，因此c1＝c2＝…＝ cn-r＝0，即得c0＝0．与假设矛盾． 综上，所给向量组η*，η*＋ξ1，…，η*＋ξn-r线性无关．
解析
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