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η*是非齐次线性方程组Aχ=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: (1)η*,ξ1…,ξn-r线性无关; (2)η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关.
η*是非齐次线性方程组Aχ=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: (1)η*,ξ1…,ξn-r线性无关; (2)η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关.
admin
2016-05-09
34
问题
η
*
是非齐次线性方程组Aχ=b的一个解,ξ
1
,…,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明:
(1)η
*
,ξ
1
…,ξ
n-r
线性无关;
(2)η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n-r
线性无关.
选项
答案
(1)假设η
*
,ξ
1
,…,ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n-r
使得下式成立 c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0, (1) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A(c
0
η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
)=c
0
Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n-r
Aξ
n-r
=c
0
b, 其中b≠0,则由上式c
0
=0,于是(1)式变为 c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0, ξ
1
,…,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n-r
=0,与线性相关矛盾. 因此由定义知,η
*
,ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关. (2)假设η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n-r
使得下式成立 c
0
η
*
+c
1
(η
*
+ξ
1
)+…+c
n-r
(η
*
+ξ
n-r
)=0, 即(c
0
+c
1
+…+c
n-r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0. (2) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A[(c
0
+c
1
+…+c
n-r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
] =(c
0
+c
1
…+c
n-r
)Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n-r
Aξ
n-r
=(c
0
+c
1
…+c
n-r
)b, 因为b≠0,故c
0
+c
1
+…+c
n-r
=0,代入(2)式,有 c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0, ξ
1
,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,ξ
n-r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…= c
n-r
=0,即得c
0
=0.与假设矛盾. 综上,所给向量组η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n-r
线性无关.
解析
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