设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.

admin2018-06-15  31

问题 设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.

选项

答案必要性.对矩阵A按列分块A=(α1,α2,…,αn),则 [*]b,Ax=b有解[*]α1,α2,…,αn可表示任何n维向量b [*]α1,α2,…,αn可表示e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T [*]r(α1,α2,…,αn)≥r(e1,e2,…,en)=n [*]r(A)=n. 所以|A|≠0. 充分性.由克莱姆法则,行列式|A|≠0时方程组必有唯一解,故[*]b,Ax=b总有解.

解析
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