2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．

admin2016-07-22  55
问题 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．
选项
答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P-1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)=A1，其中λi，i=1，2，…，n是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)． 又AB=BA，故P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，即A1P-1BP=P-1BPA1． 设P-1BP=(cij)n×n，则 [*] 比较对应元素λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0，λi≠λj(i≠j)．得cij=0，于是 [*]
解析
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考研数学一

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