设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2018-05-21 53

问题设A=

，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

选项

答案|λE－A| [*] =(λ+a－1)(λ－a)(λ－a－1)=0，得矩阵A的特征值为λ₁=1－a，λ₂=a，λ₃=1+a． (1)当1－a≠a，1－a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠1／2时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ₁=1－a时，由[(1－a)E－A]C=0得ξ₁=[*]；λ₂=a时，由(aE－A)X=0得ξ₂=[*]；λ₃=1+a时，由[(1+a)E－A]X=0得ξ₃ [*] (2)当a=0时，λ₁=λ₃=1，因为r(E－A)=2，所以方程组(E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当a=1／2时，λ₁=λ₂=1／2，因为r(1／2E－A)=2，所以方程组(1／2E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．

解析

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考研数学一

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设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

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