2. 考研
  3. (1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx． (2)计算

(1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx． (2)计算

admin2016-01-15  30
问题 (1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx．
(2)计算
选项
答案(1)证明： 必要性： 设φ(a)=∫0a+lf(x)dx一∫0af(x)dx，由题设 φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0， 则φ(a)=c(常数)． 设a=0，则c=φ(0)=∫0lf(x)dx，那么φ(a)=∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx． 充分性： 在∫0a+lf(x)dx=∫0lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期． (2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 [*]
解析
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考研数学一

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