(1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx． (2)计算

admin2016-01-15 55

问题 (1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx．
(2)计算

选项

答案(1)证明：必要性：设φ(a)=∫₀^a+lf(x)dx一∫₀^af(x)dx，由题设 φ’(a)=f(a+l)一f(a)=0，则φ(a)=c(常数)．设a=0，则c=φ(0)=∫₀^lf(x)dx，那么φ(a)=∫_a^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx．充分性：在∫₀^a+lf(x)dx=∫₀^lf(x)dx两边对a求导，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l为周期． (2)利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 [*]

解析

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