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设f(x1，x2，x3)=x2Ax=x12+ax22+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，ξ=(1，1，1)T是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x2x=x12+x22+x32=1时，f(x1，x2，x3)的最大值。
设f(x1，x2，x3)=x2Ax=x12+ax22+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，ξ=(1，1，1)T是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x2x=x12+x22+x32=1时，f(x1，x2，x3)的最大值。
admin
2015-12-03
65
问题
设f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
2
Ax=x
1
2
+ax
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+2bx
2
x
3
，ξ=(1，1，1)
T
是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x
2
x=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
=1时，f(x
1
，x
2
，x
3
)的最大值。
选项
答案
由已知可得二次型矩阵为[*]，设ξ=(1，1，1)
T
所对应的特征值为λ，则由特征值与特征向量的定义有[*]，解得a=1，b=2，λ=5。故 [*] 得矩阵A的特征值为λ
1
=5，λ
2
=λ
3
=一1，对应的特征向量分别为 ξ
1
=(1，1，1)
T
，ξ
2
=(0，一1，1)
T
，ξ
3
=(一2，1，1)
T
，单位化之后构造正交矩阵，得 [*] 令x=Qy，则f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=5y
1
2
—y
2
2
—y
3
2
。 因为x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
(Q
T
Q)y=y
T
y=y
1
2
—y
2
2
—y
3
2
=1，所以f(x
1
，x
2
，x
3
)=5y
1
2
—y
2
2
—y
3
2
=6y
1
2
一1，注意到y
1
2
=1一(y
2
2
+y
3
2
)≤1，故f(x
1
，x
2
，x
3
)≤5， [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CHw4777K
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考研数学一
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