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  3. 设f(x1，x2，x3)=x2Ax=x12+ax22+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，ξ=(1，1，1)T是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x2x=x12+x22+x32=1时，f(x1，x2，x3)的最大值。

设f(x1，x2，x3)=x2Ax=x12+ax22+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，ξ=(1，1，1)T是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x2x=x12+x22+x32=1时，f(x1，x2，x3)的最大值。

admin2015-12-03  20
问题 设f(x1，x2，x3)=x2Ax=x12+ax22+x32+4x1x2+4x1x3+2bx2x3，ξ=(1，1，1)T是A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当x满足x2x=x12+x22+x32=1时，f(x1，x2，x3)的最大值。
选项
答案由已知可得二次型矩阵为[*]，设ξ=(1，1，1)T所对应的特征值为λ，则由特征值与特征向量的定义有[*]，解得a=1，b=2，λ=5。故 [*] 得矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，对应的特征向量分别为 ξ1=(1，1，1)T，ξ2=(0，一1，1)T，ξ3=(一2，1，1)T，单位化之后构造正交矩阵，得 [*] 令x=Qy，则f(x1，x2，x3)=xTAx=5y12—y22—y32。 因为xTx=(Qy)TQy=yT(QTQ)y=yTy=y12—y22—y32=1，所以f(x1，x2，x3)=5y12—y22—y32=6y12一1，注意到y12=1一(y22+y32)≤1，故f(x1，x2，x3)≤5， [*]
解析
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考研数学一

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