已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n―s，r(B)=n－r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．

admin2017-06-14 48

问题已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n―s，r(B)=n－r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．

选项

答案A_m×nX=0，因r(A)=n－s，故有s个线性无关解向量组成AX=0的基础解系，设为α₁，α₂，…，α_s． B_m×nX=0，因r(B)=n—r，故有r个线性无关解向量组成BX=0的基础解系，设为β₁，β₂，…，β_r．因s+r>n，故s+r个n维向量α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_r线性相关，即存在不全为0的k₁，k₂，…，k_s，μ₁，μ₂，…，μ_r，使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s+μ₁β₁+μ₂β₂+…+μ_rβ_r=0， [*] 因α₁，α₂，…，α_s线性无关，β₁，β₂，…，β_r 线性无关，故k_i=0(i=1，2，…，s)，μ_i=0(i=1，2，…，r)，这和k₁，k₂，…，k_s，μ₁，μ₂，…，μ_r不全为0矛盾，故[*]是AX=0的解，ξ=[*]也是BX=0的解)．

解析

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考研数学一

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