已知A,B均是m×n矩阵,r(A)=n―s,r(B)=n-r,且r+s>n,证明:线性方程组AX=0,BX=0有非零公共解.

admin2017-06-14  32

问题 已知A,B均是m×n矩阵,r(A)=n―s,r(B)=n-r,且r+s>n,证明:线性方程组AX=0,BX=0有非零公共解.

选项

答案Am×nX=0,因r(A)=n-s,故有s个线性无关解向量组成AX=0的基础解系,设为α1,α2,…,αs. Bm×nX=0,因r(B)=n—r,故有r个线性无关解向量组成BX=0的基础解系,设为β1,β2,…,βr. 因s+r>n,故s+r个n维向量α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βr线性相关,即存在不全为0的k1,k2,…,ks,μ1,μ2,…,μr,使得 k1α1+k2α2+…+ksαs1β12β2+…+μrβr=0, [*] 因α1,α2,…,αs线性无关,β1,β2,…,βr 线性无关,故ki=0(i=1,2,…,s),μi=0(i=1,2,…,r),这和k1,k2,…,ks,μ1,μ2,…,μr不全为0矛盾,故[*]是AX=0的解,ξ=[*]也是BX=0的解).

解析
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