设实二次型f=xTAx经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又设α=(1，1，1)T满足A*α=α，求A。

admin2020-12-06 9

问题设实二次型f=x^TAx经过正交变换化为标准形f=2y₁²-y₂²-y₃₂，又设α=(1，1，1)^T满足A^*α=α，求A。

选项

答案由于f=x^TAx经过正交变换化为标准形f=2y₁²-y₂²-y₃²，可知A的特征值为2，-1，-1。又由于A^*α=α，等式两边同时左乘A可得|A|α=Aα，其中|A|=2，可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。由于A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知属于特征值-1的特征向量满足x₁+x₂+x₃=0，解得基础解系为β₁=(1，-1，0)^T，β₂=(1，0，-1)^T。可知β₁，β₂即为属于特征值-1的两个线性无关的特征向量。令P=(α，β₁，β₂)=[*] 则有 [*]

解析

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考研数学一

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