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  3. 已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论 ①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③若r(α1，α1+α2，α2+α3)=r

已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论 ①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③若r(α1，α1+α2，α2+α3)=r

admin2021-10-08  6
问题 已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论
①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；
②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；
③若r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出。
其中正确的个数是(  )
选项 A、0。
B、1。
C、2。
D、3。
答案C
解析 因为α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，所以α1，α2，α3，α4必线性相关。
若α1，α2，α3线性无关，则α4必能由α1，α2，α3线性表示，可知结论①正确。
令α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关，可知结论②错误。
由于    (α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，
(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，
所以r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，则当r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，可得r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表示。可知结论③正确。故选C。
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