2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij=i.j，求 (Ⅰ)r(A)； (Ⅱ)A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij=i.j，求 (Ⅰ)r(A)； (Ⅱ)A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

admin2020-01-15  59
问题 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij=i.j，求
(Ⅰ)r(A)；
(Ⅱ)A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件知 [*] (Ⅱ)由A的特征多项式 [*] 故A有特征值λ1=λ2=…=λn－1=0，λn=[*] 当λ1=λ2=…=λn－1=0时，方程组(λE—A)x=0就是方程组Ax=0，其同解方程组是x1+22+…+nxn=0，解得对应的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn－1ξn－1，其中ξ1=(一2，1，0，…，0)T，ξ2=(一3，0，1，0，…，0)T，…，ξn－1=(一n，0，…，0，1)T，k1，k2，…，kn－1为不全为零的任意常数． 当[*] (λnE一A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得 [*] 方程组的同解方程组为 [*] 解得对应的特征向量为knξn，其中ξn=(1，2，…，n)T，kn为任意的非零常数． 从而知A有n个线性无关特征向量，A～A，取P=(ξ1，ξ2，…，ξn－1，ξn)= [*]
解析
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考研数学一

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