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设A是n阶矩阵,A的第i行、第j列的元素aij=i.j,求 (Ⅰ)r(A); (Ⅱ)A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
设A是n阶矩阵,A的第i行、第j列的元素aij=i.j,求 (Ⅰ)r(A); (Ⅱ)A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
admin
2020-01-15
61
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行、第j列的元素a
ij
=i.j,求
(Ⅰ)r(A);
(Ⅱ)A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件知 [*] (Ⅱ)由A的特征多项式 [*] 故A有特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0,λ
n
=[*] 当λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0时,方程组(λE—A)x=0就是方程组Ax=0,其同解方程组是x
1
+2
2
+…+nx
n
=0,解得对应的特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,其中ξ
1
=(一2,1,0,…,0)
T
,ξ
2
=(一3,0,1,0,…,0)
T
,…,ξ
n-1
=(一n,0,…,0,1)
T
,k
1
,k
2
,…,k
n-1
为不全为零的任意常数. 当[*] (λ
n
E一A)x=0,对系数矩阵作初等行变换,得 [*] 方程组的同解方程组为 [*] 解得对应的特征向量为k
n
ξ
n
,其中ξ
n
=(1,2,…,n)
T
,k
n
为任意的非零常数. 从而知A有n个线性无关特征向量,A~A,取P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-1
,ξ
n
)= [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sJS4777K
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考研数学一
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