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设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ,求fn (x).
设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ,求fn (x).
admin
2017-05-31
46
问题
设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f
2
(x) ,求f
n
(x).
选项
答案
将f’(x)=f
2
(x)两边求导得 f’’(x)=2f(x).f’(x)=2f
3
(x)=2!f
3
(x) 再求导得 f’’’(x)=6f
2
(x).f’(x)=3!f
4
(x) 用数学归纳法可证明 f
(n)
(x)=n!f
(n+1)
(x).
解析
关于高阶导数的计算,一般来说,很难写出f
(n)
(x)(n≥3)的统一公式,但可利用常见函数的n阶导数(a,b为常数): (e
ax+b
)
n
=a
n
e
ax+b
,
[(ax+b)
α
]
(n)
=a
n
α(α-1) .… .(α-n+1)(ax+b)
α-n
,和莱布尼兹公式[f(x)g(x)]
(n)
=f(x)g
n
(x)+C
n
1
f’(x)g
n-1
(x)+C
n
2
f’ ’ (x)g
n-2
(x)+…+C
n
n-1
(x)f
n-1
(x)g’ (x)+f
n
(x)g(x),来计算某些初等函数的n阶导数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Oeu4777K
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考研数学一
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