2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A＝有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

已知3阶矩阵A＝有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

admin2021-11-09  79
问题 已知3阶矩阵A＝有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．
选项
答案(1)求a． A的特征多项式为 [*] 要使得它有二重根，有两种可能的情况： ①2是二重根，即2是λ2－8λ＋18＋3a的根，即4－16＋18＋3a＝0，求出a＝－2，此时三个特征值为2，2，6． ②2是一重根，则λ2－8λ＋18＋3a有二重根，λ2－8λ＋18＋3a＝(χ－4)2，求出a＝－2／3．此时三个特征值为2，4，4． (2)讨论A是否相似于对角化矩阵． ①当a＝－2时，对二重特征值2，考察3－r(A－2D)是否为2，即r(A－2E)是否为1， A－2E＝[*]，r(A－2E)＝1，此时A可相似对角化 ②当a＝－2／3时，对二重特征值4，考察3－r(A－4E)是否为2，即r(A－4E)是否为1， A－4E＝[*]，r(A－4E)＝2，此时A不相似于对角矩阵
解析
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考研数学二

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