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求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x-1交点的个数.其中f(x)在[0,1]上连续,f(x)
求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x-1交点的个数.其中f(x)在[0,1]上连续,f(x)
admin
2017-05-31
50
问题
求曲线y=∫
0
x
f(t)dt与y=2x-1交点的个数.其中f(x)在[0,1]上连续,f(x)<1.
选项
答案
令φ(x)=2x—∫
0
x
f(t)dt一1,则φ(x)在[0,1]上连续,且φ(0)=0—0—1=一1<0,φ(1)=2一∫
0
1
f(x)dx一1=1一∫
0
1
f(x)dx>0,(因为f(x)<1)所以,由零值定理,存在点ξ∈(0,1),使得φ(ξ)=0. 又φ’(x)=2-f(x)>0,可知φ(x)在[0,1]内单增.故φ(x)在(0,1)内有且仅有一个零点,即曲线y=∫
0
x
f(t)dt与y=2x—l在(0,1)内仅有一个交点.
解析
作辅助函数φ(x)=2x-∫
0
x
f(t)dt-1,将两曲线的交点转化为φ(x)的零点或方程φ(x)=0的根的问题.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Oiu4777K
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考研数学一
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