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  3. 求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x－1交点的个数．其中f(x)在[0，1]上连续，f(x)

求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x－1交点的个数．其中f(x)在[0，1]上连续，f(x)

admin2017-05-31  50
问题 求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x－1交点的个数．其中f(x)在[0，1]上连续，f(x)<1．
选项
答案令φ(x)=2x—∫0xf(t)dt一1，则φ(x)在[0，1]上连续，且φ(0)=0—0—1=一1<0，φ(1)=2一∫01f(x)dx一1=1一∫01f(x)dx>0，(因为f(x)<1)所以，由零值定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0． 又φ’(x)=2－f(x)>0，可知φ(x)在[0，1]内单增．故φ(x)在(0，1)内有且仅有一个零点，即曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x—l在(0，1)内仅有一个交点．
解析 作辅助函数φ(x)=2x－∫0xf(t)dt－1，将两曲线的交点转化为φ(x)的零点或方程φ(x)=0的根的问题．
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